数量积、外积、内积、内积空间

向量的内积

也称为向量的的数量积、点积

代数定义

n维平面上有，向量$a$为$[a_1,a_2,…,a_n]$，向量$b$为$[b_1,b_2,…,b_n]$。则向量$a$和向量$b$的点积公式为：

$a \cdot b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

注意：上面得到的最终为标量。

几何定义

设二维空间中有两个向量$a$和$b$，$\mid a \mid$和$\mid b \mid$分别为向量$a$和$b$的大小，它们的夹角为$\theta(0\leq \theta \leq \pi)$，则内积定义为以下实数：

$a \cdot b=\mid a \mid\mid b \mid cos\theta$

接着将上述定义扩展到$n$维，向量$a$和向量$b$的夹角定义为：

$cos \theta = \frac{\langle a,b\rangle}{\sqrt {\langle a,a\rangle\langle b,b\rangle}}=\frac{a^Ty}{\Vert a\Vert\Vert b\Vert}$

所以就有

$a^Ty = cos \theta\Vert a\Vert\Vert b\Vert$

向量内积的几何和物理意义

向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积

特别的，如果一个向量如$a$是某个坐标轴的单位坐标向量，那么，两个向量的内积$a \cdot b$就是向量$b$在此坐标轴上的坐标值。这个结论非常重要，这是傅立叶分析的理论基础。

其他几何意义：从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。当内积值为正值时，两个向量大致指向相同的方向（方向夹角小于90度）；当内积值为负值时，两个向量大致指向相反的方向（方向角大于90度）；当内积值为0时，两个向量互相垂直。

向量内积的生活解释：单价向量乘以数量向量，得到总价格

向量内积的物理解释：一个斜坡上用力$F$斜上拉一个物体，位移为$S$(没有重力的情况下)，那么这个力$F$所作的功:$w=FScos\theta$

向量的外积

也称为向量的向量积、叉积

定义：两个向量$a$和$b$的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作$a×b$.

若$a、b$不共线，则$a×b$的模是：$∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉$；$a×b$的方向是：垂直于$a$和$b$,且$a、b$和$a×b$按这个次序构成右手系.
若$a、b$共线，则$a×b=0$，注意这里的$0$为零向量。

向量外积的几何意义：

$a × b$为一个新生成的向量，这个向量垂直于$a$ 和$ b$展成的平面（图中的虚线平行四边形，由线段$oa$和$ob$所确定的平面）；同样向量$b × a$也垂直这个平面，但方向与$a × b$所指的方向相反，即$a × b = - b × a$（右手法则）

向量外积的物理意义：

物理上称为轴向量

1、知道陀螺的原理吗？高速旋转的陀螺会定向。陀螺所定义的方向就是矢径向量$r$和线速度$v$叉乘结果角速度$ω$方向。

2、螺钉，螺钉只要左右向旋转即可在螺孔中前进或者后退。用螺丝刀把这棵螺钉按照$F+$的方向右旋，那么旋转时的扭力向量$F$和矢径向量$r$这两个叉乘的结果即是力矩$M$的方向，这棵螺钉就会沿着力矩$M$在螺母孔内前进，反方向就会改变叉积的方向进而退出螺孔（右螺旋螺钉）。也就是力矩或叉乘向量的方向就是螺钉的螺旋前进的方向，这个方向垂直于螺丝刀口和扭力的方向，也就是垂直于被叉积的两个向量的方向。

3、我们经常骑的自行车，车子静止的时候我们在车上会摔下来，一旦骑行起来，车子就会平稳而不会左右倾倒，这也是叉积的功劳（与陀螺的原理相同）。