最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。
但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。
概率和统计是一个东西吗？
概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。
概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。 举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。
统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。
一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。
显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？ 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。
贝叶斯公式到底在说什么？
设A，B是两个事件，且$P(A)>0$，称
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：
贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。
把B展开，可以写成：
想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？ 不。。 你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。
贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）
我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把$A$计作“汽车被砸了”，$B$计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生$A|B$的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸引起（trigger）警报响，即$B|A$。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作$∼A$），其他原因引起汽车警报响了，即$B|∼A$。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了）？想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量（这即【式1】）。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即【式2】）。
可能有点绕，请稍稍想一想。
再思考【式2】。想让$P(A|B)=1$，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让$P(B|∼A)P(∼A)=0$即可。很容易想清楚，假若让$P(∼A)=0$，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。
从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。
再思考【式2】。观察【式2】右边的分子，$P(B|A)$为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是，若$P(A)$很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则$P(B|A)P(A)$仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小，$P(A|B)$ 还是大不起来。 这里，$P(A)$即是常说的先验概率，如果$A$的先验概率很小，就算$P(B|A)$较大，可能$A$的后验概率$P(A|B)$还是不会大（假设$P(B|∼A)P(∼A)$不变的情况下）。
从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。 发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。
在这里，我们常见的贝叶斯公式的形式是这样的：
即：
其中，posterior：通过样本$X$得到参数的概率;
likehood：通过参数得到样本$X$的概率;
prior：参数的先验概率，一般是根据人的先验知识来得出的。比如人们倾向于认为抛硬币实验会符合先验分布：beta分布。当我们选择beta分布的参数时，代表人们认为抛硬币得到正反面的概率都是0.5;
evidence：$P(X)=\int{P(X|\theta)P(\theta)d\theta}$
样本$X$发生的概率，是各种条件下发生的概率的积分
好了好了，说了这么多，下面言归正传，说一说MLE。
——————不行，还得先说似然函数（likelihood function）
似然函数
似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。
对于这个函数：
输入有两个：$x$表示某一个具体的数据；$θ$表示模型的参数。
如果$θ$是已知确定的，$x$是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点$x$，其出现概率是多少。
如果$x$是已知确定的，$θ$是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。
这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，$f(x,y)=x^y$, 即$x$的$y$次方。如果$x$是已知确定的(例如$x=2$)，这就是$f(y)=2^y$, 这是指数函数。 如果$y$是已知确定的(例如$y=2$)，这就是$f(x)=x^2$，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。
这么说应该清楚了吧？ 如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。
现在真要先讲讲MLE了。。
最大似然估计（MLE）
通俗理解
假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为$θ$）各是多少？
这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？ 数据！
于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（$x_0$）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率$θ$是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布。
那么，出现实验结果$x_0$（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？
注意，这是个只关于$θ$的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出$f(θ)$的图像：
可以看出，在$θ=0.7$时，似然函数取得最大值。
这样，我们已经完成了对$θ$的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm..这非常直观合理，对吧？）
最大似然估计，就是已知样本，求满足该样本分布，使得在该分布下出现该样本的概率最高。
且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。
这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。
详细推导
一般情况下，公式如下：
目标是寻求能最大化likehood的值。可以写出目标函数：
一般使用对数来进行简化处理：
要最大化$L$，对$L$求导数并令导数为0即可求解。
最大后验概率估计（MAP）
通俗理解
最大似然估计是求参数$θ$, 使似然函数$P(x_0|θ)$最大。最大后验概率估计则是想求$θ$使$P(x_0|θ)P(θ)$最大。求得的$θ$不单单让似然函数大，$θ$自己出现的先验概率也得大。 （这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）
MAP其实是在最大化$P(θ|x_0)=\frac{P(x_0|θ)P(θ)}{P(x_0)}$，不过因为$x_0$是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），$P(x_0)$是一个已知值，所以去掉了分母$P(x_0)$（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了$n$次，则$P(x_0)=n/1000$。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。最大化$P(θ|x_0)$的意义也很明确，$x_0$已经出现了，要求$θ$取什么值使$P(θ|x_0)$最大。顺带一提，$P(θ|x_0)$即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。
对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）$θ$取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设$P(θ)$为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：
则$P(x_0|θ)P(θ)$的函数图像为：
注意，此时函数取最大值时，$θ$取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在$θ=0.558$时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到$θ=0.558$
最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信$θ=0.7$呢？你得多做点实验。。
如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:
如果仍然假设$P(θ)$为均值0.5，方差0.1的高斯函数，$P(x_0|θ)P(θ)$的函数图像为：
在$θ=0.696$处，$P(x_0|θ)P(θ)$取得最大值。
这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把$θ$估计在0.7附近了。
PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为$P(θ=0.5)=1$ ，那就没得玩了。。 无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是$θ=0.5$。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）
详细推导
和极大似然估计不同的是，MAP寻求的是能使后验概率$P(\theta|X)$最大的$\theta$值。
之所以可以省略分母$P(X)$，是因为$P(X)$和$\theta$没有关系。
加上对数处理后，上面公式可以表达为：
$\theta$的先验分布$P(\theta)$，我们可以按照实际情况来选择，比如抛硬币实验，我们就可以选择上面说过的beta分布。
至于上面目标函数的求解，也和极大似然估计是一样的，对目标函数求导并令导数为0来求解。
最大似然估计和最大后验概率估计的区别
相信读完上文，MLE和MAP的区别应该是很清楚的了。MAP就是多个作为因子的先验概率$P(θ)$。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率$P(θ)$认为等于1，即认为$θ$是均匀分布。
我们可以看到，无论是最大似然估计还是最大后验概率估计，似然函数都发挥着重要作用。但这两种估计，反应了两种观点。最大似然估计是古典统计学派的观点，古典统计学派认为，参数$θ$是固定的，可以通过观测到的数据直接求出来。而最大后验概率估计是贝叶斯学派的观点，贝叶斯学派认为，只有数据是可见的，参数$θ$也是不固定的，而是满足一定概率分布 $P(θ|x_0)$ 的。
这两种模型，孰优孰劣，一直以来都是莫衷一是，未有定论。最大似然估计被人诟病之处是估计存在bias，在某些极端情况下，是违反经验与直觉的,例如样本很少的时候我们的观测结果很可能出现偏差。最大后验概率估计可以有效地减弱这种bias，但是最大后验概率需要引入先验概率分布$P(θ)$, 所以最大后验概率估计的效果，也取决于先验概率的设定，一个糟糕的先验概率将会导致一个糟糕的后验概率估计。
贝叶斯估计
贝叶斯估计和MAP挺像的，都是以最大化后验概率为目的。区别在于：
1）极大似然估计和MAP都是只返回了的预估值，就完事了
2）MAP在计算后验概率的时候，把分母$P(X)$给忽略了，在进行贝叶斯估计的时候则不能忽略
3）贝叶斯估计要计算整个后验概率的概率分布
还是回到这两个公式：
这里有一个技巧，对于一个特定的likehood，如果我们选择了一个先验概率分布，通过上面两个公式的计算，得出的后验概率和先验概率是同分布的，这时候我们说这个先验分布是共轭先验。
可以举几个例子：
likehood为高斯分布，prior为高斯分布，则posterior也为高斯分布
likehood为伯努利分布（二项式分布），prior为beta分布，则posterior也为beta分布
likehood为多项式分布，prior为Dirichlet分布（beta分布的一个扩展），则posterior也为Dirichlet分布
根据上面的描述，在实践中我们往往会选择共轭先验来简化。在把后验概率推导为和先验概率一样的分布形式的时候，分母$P(X)$其实可以看做一个常数，往往充当了一个normalize，归一化的作用。
求解的时候，既然我们根据先验分布知道了后验是什么分布，那我们求出后验分布的期望值，即是需要估计的参数$\theta$的值：
知道了后验是什么分布，那么求这个分布的期望值应该不是什么难事。
贝叶斯估计相对于最大后验估计的好处还在于，贝叶斯估计计算了整个后验概率的分布，从而也能求出其他一些比如分布的方差之类的值来供参考，比如计算出来方差太大的，我们可以认为分布不够好，从而把这个当做选择超参数的一个考虑因素。实际上，贝叶斯估计会比MAP把估计的结果往先验结果“拉”的程度还提高了一些，从而使估计结果更靠近先验结果。
参考
详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解
机器学习：最大似然估计与最大后验概率估计
极大似然估计，最大后验概率估计(MAP)，贝叶斯估计
