38回溯算法：从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思想

首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。

除了前面讲过的深度优先算法利用的是回溯算法，正则表达式匹配、编译原理中的语法分析通常也用到了回溯算法。另外，数独、八皇后、0-1 背包、图的着色、旅行商问题、全排列等数学问题也都使用的是回溯算法解决。

如何理解“回溯算法”？

借助贪心算法，每次面对岔路口时，都做出当前看起来最优的选择，期望这一组选择可以使得我们的人生达到“最优”。但是，贪心算法并不一定能得到最优解。那怎么才能得到人生的最优解呢？《蝴蝶效应》电影讲述的是主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的岔路口，重新做选择。

笼统的来说，回溯算法很多时候都应用在“搜索”这类问题上，这里的搜索并不止狭义上图的搜索算法，而是在一组可能的解中，搜索满足期望的解。

回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段都会面对一个岔路口，先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

以八皇后为例，对这个问题进行详细说明。有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。如下图所示，第一幅图是满足条件的一种方法，第二幅图是不满足条件的。八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。

可以把这个问题划分成 8 个阶段，依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，不停地检查当前放法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种放法，继续尝试。

回溯算法非常适合用递归代码实现。八皇后算法翻译成代码如下所示：

int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0);
  if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果
    printQueens(result);
    return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
  }
  for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法
    if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求
      result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列
      cal8queens(row+1); // 考察下一行
    }
  }
}

private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适
  int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
  for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行
    if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？
    if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？
      if (result[i] == leftup) return false;
    }
    if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？
      if (result[i] == rightup) return false;
    }
    --leftup; ++rightup;
  }
  return true;
}

private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵
  for (int row = 0; row < 8; ++row) {
    for (int column = 0; column < 8; ++column) {
      if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
      else System.out.print("* ");
    }
    System.out.println();
  }
  System.out.println();
}

两个回溯算法的经典应用

回溯算法的理论知识简单，较难的是递归实现。下面用两个例子，练习一下回溯算法的应用与实现。

0-1 背包

0-1 背包的经典解法是动态规划，这个之后再提及。可以先用简单但并不太高效的回溯算法实现。

假设有一个背包，背包总重量为W Kg，共有n个物品，每个物品的重量不等且不可分割。现在期望选择几件物品，装到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？

贪心算法一节也有一个背包问题，不过那里讲的物品是可以分割的，这里的物品不能分割，要么装要么不装，所以叫做0-1背包。显然，这个问题不能使用贪心算法来解决了，可以尝试使用回溯算法来解决。

对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为：它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。

对于每个物品，都有装与不装两种选择，n个物品总共有$2^n$种。不过，怎么才能不重复地穷举这$2^n$中装法呢？采用回溯的方法，把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。代码如下，这个代码还用到了一点搜索剪枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过 W kg 之后，就停止继续探测剩下的物品。

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
// cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
// w背包重量；items表示每个物品的重量；n表示物品个数
// 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
  if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品
    if (cw > maxW) maxW = cw;
    return;
  }
  f(i+1, cw, items, n, w); //当前物品不装进背包
  if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
    f(i+1,cw + items[i], items, n, w); //当前物品装进背包
  }
}

正则表达式

正则表达式中，最重要的就是通识符。假设正则表示式中只包含“*”和”?”这两种通识符。“*”匹配任意多个（大于等于 0 个）任意字符，“?”匹配零个或者一个任意字符。那么如何用回溯算法，判定给定的文本是否和给定的正则表达式匹配？

依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，直接跟文本的字符匹配，如果相同，则继续向下处理；如果不同，则回溯。

如果遇到特殊字符的时候，就有多种处理方式了，也就是所谓的岔路口，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。

对应的代码如下：

public class Pattern {
  private boolean matched = false;
  private char[] pattern; // 正则表达式
  private int plen; // 正则表达式长度

  public Pattern(char[] pattern, int plen) {
    this.pattern = pattern;
    this.plen = plen;
  }

  public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度
    matched = false;
    rmatch(0, 0, text, tlen);
    return matched;
  }

  private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {
    if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了
    if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了
      if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了
      return;
    }
    if (pattern[pj] == '*') { // *匹配任意个字符
      for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) {
        rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);
      }
    } else if (pattern[pj] == '?') { // ?匹配0个或者1个字符
      rmatch(ti, pj+1, text, tlen);
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    }
  }
}

内容小结

回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。

参考

0-1背包问题、贪心算法、动态规划