30深度和广度优先搜索:如何找出社交网络中的三度好友关系

首先,该文章来自于极客时间网站,王争的专栏——《数据结构与算法之美》,我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解,只是作为个人笔记,若侵权,马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解,一来是支持作者,二来是作者写的确实不错。

社交网路中,有一个六度分割理论。也就是说,你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度,也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。

用户的一度连接用户就是他的好友,而二度连接用户就是他好友的好友,三度连接用户就是他好友的好友的好友。那么给定一个用户,如何找出这个用户的所有三度(其中包含一度、二度和三度)的好友关系?

这就需要用到本节的深度优先和广度优先搜索算法。

什么是“搜索”算法?

算法是作用于具体数据结构之上的,深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为,图这种数据结构的表达能力很强,大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法,简单理解就是,在图中找出从一个顶点出发,到另一个顶点的路径。具体方法有很多,例如最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索,还有A*、IDA*等启发式搜索算法

图有邻接表和邻接矩阵两种存储方法。本节主要使用邻接表来存储。另外,深度优先搜索算法和广度优先搜索既可以用在无向图,也可以用在有向图。本节主要针对的是无向图。

图的代码实现如下:

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public class Graph { // 无向图
private int v; // 顶点的个数
private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

public Graph(int v) {
this.v = v;
adj = new LinkedList[v];
for (int i=0; i<v; ++i) {
adj[i] = new LinkedList<>();
}
}

public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
adj[s].add(t);
adj[t].add(s);
}
}

广度优先搜索(BFS)

广度优先搜索(Breadth-First-Search),简称为BFS。它是一种“地毯式”层层推进的搜索策略,即先查找离起始顶点最近的,然后是次近的,依次往外搜索。如下所示:

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虽然它的原理很简单,但是代码实现还是稍微有点复杂度。代码如下,在该代码中 s 表示起始顶点,t 表示终止顶点。bfs() 函数的含义为搜索一条从 s 到 t 的路径。 实际上这样求得的路径也是从 s 到 t 的最短路径。

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public void bfs(int s, int t) {
if (s == t) return;
boolean[] visited = new boolean[v];
visited[s]=true;
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.add(s);
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
while (queue.size() != 0) {
int w = queue.poll();
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
if (q == t) {
print(prev, s, t);
return;
}
visited[q] = true;
queue.add(q);
}
}
}
}

private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径
if (prev[t] != -1 && t != s) {
print(prev, s, prev[t]);
}
System.out.print(t + " ");
}

想要理解这段代码,主要理解三个重要的辅助变量visited、queue、prev。

  • visited 是用来记录已经被访问的顶点,用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问,那相应的 visited[q]会被设置为 true。
  • queue 是一个队列,用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。广度优先搜索是逐层访问的,只有把第 k 层的顶点都访问完成之后,才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候,我们需要把第 k 层的顶点记录下来,稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k+1 层的顶点。我们使用这个队列来实现记录的功能。
  • prev 用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始,广度优先搜索到顶点 t 后,prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过,这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是,顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如,我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3,那 prev[3]就等于 2。为了正向打印出路径,我们需要递归地来打印,你可以看下 print() 函数的实现方式。

为了方便理解,下面为广度优先搜索的分解图。

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那么广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢?

最坏情况下,终止顶点 t 离起始顶点 s 很远,需要遍历完整个图才能找到。这个时候,每个顶点都要进出一遍队列,每个边也都会被访问一次,所以,广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E),其中,V 表示顶点的个数,E 表示边的个数。当然,对于一个连通图来说,也就是说一个图中的所有顶点都是连通的,E 肯定要大于等于 V-1,所以,广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。

广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数,所以空间复杂度是 O(V)。

深度优先搜索(DFS)

深度优先搜索(Depth-First-Search),简称 DFS。若从起始顶点 s 搜索到终止顶点 t 时,其搜索路径如下所示。这里面实线箭头表示遍历,虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出,深度优先搜索找出来的路径,并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

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实际上,深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想——回溯思想,它非常适合用递归来实现。

该过程对应的代码如下所示。跟广度优先搜索算法中的作用类似,深度优先代码实现里面也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数。不过,深度优先搜索代码实现里,有个比较特殊的变量 found,它的作用是,当我们已经找到终止顶点 t 之后,我们就不再递归地继续查找了。

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boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) {
found = false;
boolean[] visited = new boolean[v];
int[] prev = new int[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
prev[i] = -1;
}
recurDfs(s, t, visited, prev);
print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
if (found == true) return;
visited[w] = true;
if (w == t) {
found = true;
return;
}
for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
int q = adj[w].get(i);
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
recurDfs(q, t, visited, prev);
}
}
}

那么深度优先搜索时间、空间复杂度是多少呢?

从上图中可以看到,每条边最多会被访问两次,一次是遍历,一次是回退。所以,图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E),E 表示边的个数。

深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比,递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数,所以总的空间复杂度就是 O(V)。

解答开篇

如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系?

社交网络是可以用图来表示的。所以这个问题非常适合用图的广度优先搜索算法来解决,因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先,遍历与起始顶点最近的一层顶点,也就是用户的一度好友,然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点,也就是二度好友关系,以及与用户距离的边数为 3 的顶点,也就是三度好友关系。

对于代码而言,需要用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离,非常容易就可以找出三度好友关系。

内容小结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法,比起其他高级的搜索算法,比如 A*、IDA* 等,要简单粗暴,没有什么优化,所以,也被叫作暴力搜索算法。所以,这两种搜索算法仅适用于状态空间不大,也就是说图不大的搜索。

广度优先搜索,通俗的理解就是,地毯式层层推进,从起始顶点开始,依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现,遍历得到的路径就是,起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想,非常适合用递归实现。换种说法,深度优先搜索是借助来实现的。在执行效率方面,深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是 O(E),空间复杂度是 O(V)。

课后思考

开篇的问题可以使用深度优先搜索来解决呢?

答:可以。DFS递归时传多一个离初始节点的距离值,访问节点时,距离超过3的不再继续递归。

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