27堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快

首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。

“堆”（Heap）是一种特殊的树，其最常用的场景为堆排序。堆排序是一种原地的、时间复杂度为 $O(nlogn)$ 的排序算法。

快速排序，平均情况下，它的时间复杂度为 $O(nlogn)$。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是 $O(nlogn)$，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是，在实际中，快速排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？

如何理解“堆”？

堆是一种特殊的树，需要满足下面两点：

堆是一个完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

如下图所示，第1个和第2个是大顶堆，第3个是小顶堆，第4个不是堆。从第1个和第2个对比可以发现，我们可以构建多种不同形态的堆。

如何实现一个堆？

要先实现一个堆，首先要明白堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。

之前说过，完全二叉树比较适合用数组存储，不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点，所以非常节省存储空间。如下所示：

从图中可以看出，下标为0的数组并没有存储任何数据。数组中下标为 $i$ 的节点的左子节点，就是下标为 $i∗2$ 的节点，右子节点就是下标为 $i∗2+1$ 的节点，父节点就是下标为 $\frac{i}{2}$ 的节点。由此可通过下标知道节点的左右子节点和父节点。

对于堆上的操作，非常核心的有往堆中插入一个元素和删除堆顶元素。以下以大顶堆来说明。

往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。

若将新插入的元素放到堆最后，如下图所示，其并不符合堆的定义。对其进行堆化（heapify），让其重新满足堆的特性。堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里先讲从下往上的堆化方法。

所谓堆化，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。如下所示，让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。

对应的代码如下：

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
}

删除堆顶元素

根据堆的定义，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

假设构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。如下所示，可以看出这种方法有点问题，最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

换个思路，如下图所示，我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

对应的代码如下：

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count]; // 下标为0的位置没有存储任何数据
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    // 顺便比较左右子树值的大小
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

一个包含 $n$ 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 $log_2n$。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 $O(logn)$。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 $O(logn)$。

如何基于堆实现排序？

基于堆结构实现的排序算法称为堆排序，它时间复杂度非常稳定为$O(logn)$，并且它还是原地排序算法。其过程可以大致分解为两个大的步骤：建堆和排序。

建堆

首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。

第一种：借助前面讲的堆中插入元素的思路。假设堆中只包含一个下标为1的数据。然后调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 $n$ 的数据依次插入到堆中。这样就将这 $n$ 个数据的数组，组织成了堆。

第二种：第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

如下所示画了一个第二种实现思路的建堆分解步骤图。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。

对应的代码如下：

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  // 注意这个for循环的写法
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) { 
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

该代码中，对下标从$\frac{n}{2}$开始到1的数据进行堆化，而下标为$\frac{n}{2}+1$到$n$的节点为叶子节点，不需要堆化。

每个节点堆化的时间复杂度为$O(logn)$，那$\frac{n}{2}+1$个节点堆化总时间是不是就是$O(nlogn)$呢？这个值还不够精确。下面进行详细分析。

因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 $k$ 成正比。

如下图为每一层的节点个数和对应的高度，只需要将每个节点的高度求和，得到的就是建堆的时间复杂度。

将每个非叶子节点的高度求和，如下所示：

把公式左右都乘以 2，就得到另一个公式 $S2$，其中$S2=2\times S1$。我们将 $S2$ 错位对齐，并且用 $S2$ 减去 $S1$，可以得到 $S$。

S 的中间部分是一个等比数列，所以最后可以用等比数列的求和公式来计算，最终的结果如下所示：

因为 $h=log_2n$，代入公式 $S$，就能得到 $S=O(n)$，所以，建堆的时间复杂度就是 $O(n)$。

排序

建堆结束后，数组中的数据已经是按照大顶堆的定义组织。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。

将栈顶与最后一个元素互换位置，那最大元素就放到了下标为 $n$ 的位置。类似上面的“删除栈顶元素”的操作，下标为 $n$ 的原数据被移动到了堆顶，然后按照堆化的方法，将剩下的 $n-1$ 个元素重新构建成堆。堆完成之后，再拿堆顶的元素和下标为 $n - 1$的元素互换位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

对应的代码如下：

// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 $O(n)$，排序过程的时间复杂度是 $O(nlogn)$，所以，堆排序整体的时间复杂度是 $O(nlogn)$。

堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

值得注意的是，若你堆中的数据是从下标为0开始存储的，那么在实现代码过程中，计算子节点和父节点的下标的公式改变了。

如果节点的下标是 $i$，那左子节点的下标就是 $2∗i+1$，右子节点的下标就是 $2∗i+2$，父节点的下标就是 $\frac{i-1}{2}$。

解答开篇

实际中，为什么快读排序要比堆排序性能好？

主要有以下两个方面的原因：

第一点，堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。

对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。比如，堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下面这个例子，对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是 1，2，4，8 的元素，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对 CPU 缓存是不友好的。

第二点，对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。

排序中有两个概念：有序度和逆序度。对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程就是由两个基本的操作组成的，比较和交换（或移动）。快速排序数据交换的次数不会比逆序度多。

但是堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。

内容小结

堆是一种完全二叉树。它最大的特性是：每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子树节点的值。因此，堆被分成了两类，大顶堆和小顶堆。

堆中比较重要的两个操作是插入一个数据和删除堆顶元素。这两个操作都要用到堆化。插入一个数据的时候，我们把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；删除堆顶数据的时候，我们把数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作时间复杂度都是 $O(logn)$。

堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从$\frac{n}{2}$ 到 1 的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，我们迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。

课后思考

在讲堆排序建堆的时候，我说到，对于完全二叉树来说，下标从 $\frac{n}{2}$ 到 n 的都是叶子节点，这个结论是怎么推导出来的呢？

答：使用数组存储表示完全二叉树时，从数组下标为1开始存储数据，数组下标为i的节点，左子节点为2i, 右子节点为2i + 1. 这个结论很重要（可以用数学归纳法证明），将此结论记为『原理1』，以下证明会用到这个原理。

为什么，对于完全二叉树来说，下标从n/2 + 1 到 n的节点都是叶子节点？使用反证法证明即可：

如果下标为n/2 + 1的节点不是叶子节点，即它存在子节点，按照『原理1』，它的左子节点为：2(n/2 + 1) = n + 2，大家明显可以看出，这个数字已经大于n + 1，超出了实现完全二叉树所用数组的大小（数组下标从1开始记录数据，对于n个节点来说，数组大小是n + 1），左子节点都已经超出了数组容量，更何况右子节点。以此类推，很容易得出：下标大于n/2 + 1的节点肯定都是也叶子节点了，故而得出结论：对于完全二叉树来说，下标从n/2 + 1 到 n的节点都是叶子节点。