22二叉树基础（上）：什么样的二叉树适合用数组来存储

首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。

之前讲的都是线性表结构，例如栈、队列等。本节主要讲一种非线性表结构，树。树这种数据结构比线性表复杂的多，内容也比较多。主要如下：

带着问题学习，是最有效的学习方式之一。首先思考一个问题：二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？

树（Tree）

树的结构如下图所示：

从图中可以发现，“树”这种数据结构真的很像我们现实生活中的“树”，这里面每个元素我们叫作“节点”；用来连线相邻节点之间的关系，我们叫作“父子关系”。像上图中的非树结构，并不能找到“父子关系”，所以也就不是非树结构。

再比如下面这幅图，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。把像节点E这样没有父节点的节点称为根节点。把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

除此之外，关于“树”，还有三个比较相似的概念：高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）。它们的定义是这样的：

关于这三个概念的例子如下：

其实关于这几个概念的理解可以对比在生活中的例子：

生活中，“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第 10 层楼的高度，起点是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是 0。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是 0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是 1，也就是说根节点的位于第 1 层。

二叉树（Binary Tree）

树有很多种类，最常用的是二叉树。

二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。下图中都是二叉树

上图中，编号2和编号3两个二叉树比较特殊。

编号2的二叉树中，

叶子节点全部都在底层；
除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点。

这种二叉树就叫作满二叉树。

编号3的二叉树中，

叶子节点都在最底下两层；
最后一层的叶子节点都靠左排列；
除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大

这种二叉树叫做完全二叉树。

满二叉树比较好理解，也比较好识别，但是对于完全二叉树，有不容易那么区分了。如下图为几个完全二叉树和非完全二叉树的例子。

感觉完全二叉树不像满二叉树，特征那么明显。为什么还要把完全二叉树单独命名呢？为什么偏偏把最后一层的叶子靠左排列的叫完全二叉树？而靠右排列的就不叫完全二叉树呢？要想了解这个问题，我们首先要了解一个问题：如何表示（或者存储）一棵二叉树？

存储一颗二叉树，有两种方法：

基于指针或者引用的二叉链式存储法
基于数组的顺序存储法

链式存储法比较简单，直观。如下图所示，每个节点都有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。只要知道根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构实现的。

接着我们再来看看基于数组的顺序存储法。我们把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 i = 2 的位置，右子节点存储在 2 i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 i = 2 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 i + 1 = 2 2 + 1 = 5 的位置。

总结一下：

如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 i + 1 的位置存储的就是右子节点。
反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。

通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

知道了这个之后，我们就可以进一步思考为什么要把完全二叉树单独定义了。对于完全二叉树，在使用基于数组的顺序存储法时，仅仅“浪费”了一个下标为0的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。例子如下：

所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储时最省内存的一种方式。因为数组的存储方式不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独定义的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。

二叉树的遍历

前面介绍了二叉树的基本定义和存储方法。对于二叉树的面试而言，还有另外一种特别重要的操作——遍历。

对于二叉树的遍历，经典的方法有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。

前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印这个节点，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如，前序遍历，其实就是先打印根节点，然后再递归地打印左子树，最后递归地打印右子树。

写递归代码的关键点在于能不能写出递推公式。而写递推公式的关键在于：如果要解决问题A，就假设子问题B、C已经解决，然后再看如何利用B、C来解决A。通过这种方式，将前、中、后序的递推公式都写出来：

前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

有了递推公式，代码就好些了。如下：

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}

可以看到，二叉树的前、中、后序遍历的递归实现并不是很复杂。从我前面画的前、中、后序遍历的顺序图，可以看出来，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。

解答开篇&内容小结

本节主要讲了非线性表数据结构——树。关于树，有几个比较常用的概念需要掌握：根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度、层数，以及树的高度。

我们平时最常用的树是二叉树。二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。

二叉树既可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是 O(n)，你需要理解并能用递归代码来实现。

课后思考

给定一组数据，比如 1，3，5，6，9，10。请问可以构建出多少种不同的二叉树？
答：卡特兰数，是C[n,2n] / (n+1)种形状，c是组合数，节点的不同又是一个全排列，一共就是n!*C[n,2n] / (n+1)个二叉树。可以通过数学归纳法推导得出。
本节讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另外一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？
答：层次遍历需要借助队列这样一个辅助数据结构。（其实也可以不用，这样就要自己手动去处理节点的关系，代码不太好理解，好处就是空间复杂度是o(1)。不过用队列比较好理解，缺点就是空间复杂度是o(n)）。根节点先入队列，然后队列不空，取出头元素，如果左孩子存在就入列队，否则什么也不做，右孩子同理。直到队列为空，则表示树层次遍历结束。树的层次遍历，其实也是一个广度优先的遍历算法。