17散列表(上):Word文档中的单词拼写检查功能是如何实现的

首先,该文章来自于极客时间网站,王争的专栏——《数据结构与算法之美》,我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解,只是作为个人笔记,若侵权,马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解,一来是支持作者,二来是作者写的确实不错。

Word软件有一个单词拼写检查的功能,当写错英文单词时,会以标红的方式提示“拼写错误”。那么这个功能是如何实现的呢?这就要借助散列表(Hash Table)的思想。

散列思想

散列表(Hash Table),也称为“哈希表”或者“hash 表”。散列表用的是数组支持按照下标随机访问数据的特性,所以散列表其实就是数组的一种扩展,由数组演化而来。可以说,如果没有数组,就没有散列表。

先举一个例子,比如89 名选手参加学校运动会,为了方便记录成绩,每个选手胸前都会贴上自己的参赛编号。编号由年级、班级等6为数字组成,比如051167,其中,前两位 05 表示年级,中间两位 11 表示班级,最后两位表示选手编号 1 到 89。这个时候我们该如何存储选手信息,才能够支持通过编号来快速查找选手信息呢?

我们不能直接把编号作为数组下标,截取参赛编号的后两位作为数组下标,来存取选手信息数据。当通过参赛编号查询选手信息的时候,取参赛编号的后两位,作为数组下标,来读取数组中的数据。

这就是典型的散列思想。其中,参赛选手的编号我们叫作键(key)或者关键字。我们用它来标识一个选手。我们把参赛编号转化为数组下标的映射方法就叫作散列函数(或“Hash 函数”“哈希函数”),而散列函数计算得到的值就叫作散列值(或“Hash 值”“哈希值”)。

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总结一下:散列表用的就是数组支持按照下标随机访问的时候,时间复杂度是 O(1) 的特性。我们通过散列函数把元素的键值映射为下标,然后将数据存储在数组中对应下标的位置。当我们按照键值查询元素时,我们用同样的散列函数,将键值转化数组下标,从对应的数组下标的位置取数据。

散列函数

从上面例子可以看出,散列函数在散列表中起到非常关键的作用。列函数,顾名思义,它是一个函数。我们可以把它定义成 hash(key),其中 key 表示元素的键值,hash(key) 的值表示经过散列函数计算得到的散列值。

对于上面提到的例子,hash(key) 散列函数写成伪代码如下:

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int hash(String key) {
// 获取后两位字符
string lastTwoChars = key.substr(length-2, length);
// 将后两位字符转换为整数
int hashValue = convert lastTwoChas to int-type;
return hashValue;
}

当散列函数比较复杂时,构造散列函数需要满足三点基本要求:

  1. 散列函数计算得到的散列值是一个非负整数
  2. 如果 key1 = key2,那 hash(key1) == hash(key2);
  3. 如果 key1 ≠ key2,那 hash(key1) ≠ hash(key2)。

对上面三点进行解释。第一点是因为数组下标是从0开始的非负整数。第二点好理解。对于第三点理解起来可能会有问题,这个要求看起来合情合理,但是在真实的情况下,要想找到一个不同的 key 对应的散列值都不一样的散列函数,几乎是不可能的。即便像业界著名的MD5、SHA、CRC等哈希算法,也无法完全避免这种散列冲突。而且,因为数组的存储空间有限,也会加大散列冲突的概率。

所以我们几乎无法找到一个完美的无冲突的散列函数,即便能找到,付出的时间成本、计算成本也是很大的,所以针对散列冲突问题,我们需要通过其他途径来解决。

散列冲突

常用的散列冲突解决方法有两类,开放寻址法(open addressing)和链表法(chaining)。

开放寻址法

开放寻址法的核心思想是,如果出现了散列冲突,我们就重新探测一个空闲位置,将其插入。有一种比较简单的探测方法探测新的空间位置——线性探测(Linear Probing)。

当我们往散列表中插入数据时,如果某个数据经过散列函数散列之后,存储位置已经被占用了,我们就从当前位置开始,依次往后查找,看是否有空闲位置,直到找到为止。如下图所示,黄色的块表示空闲位置,橙色的块表示已经存储了数据。

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从图中可以看出,散列表的大小为 10,在元素 x 插入散列表之前,已经 6 个元素插入到散列表中。x 经过 Hash 算法之后,被散列到位置下标为 7 的位置,但是这个位置已经有数据了,所以就产生了冲突。于是我们就顺序地往后一个一个找,看有没有空闲的位置,遍历到尾部都没有找到空闲的位置,于是我们再从表头开始找,直到找到空闲位置 2,于是将其插入到这个位置。

在散列表中查找元素的过程有点儿类似插入过程。我们通过散列函数求出要查找元素的键值对应的散列值,然后比较数组中下标为散列值的元素和要查找的元素。如果相等,则说明就是我们要找的元素;否则就顺序往后依次查找。如果遍历到数组中的空闲位置,还没有找到,就说明要查找的元素并没有在散列表中。

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散列表跟数组一样,不仅支持插入、查找操作,还支持删除操作。对于使用线性探测法解决冲突的散列表,不能直接单纯的把要删除的元素置为空。这是因为在查找操作时,一旦我们通过线性探测方法,找到一个空闲位置,我们就可以认定散列表中不存在这个数据。但是,如果这个空闲位置是我们后来删除的,就会导致原来的查找算法失效。所以对于要删除的元素,我们要将其标记为 deleted。当线性探测查找的时候,遇到标记为 deleted 的空间,并不是停下来,而是继续往下探测。

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线性探测法其实存在很大问题。当散列表中插入的数据越来越多时,散列冲突发生的可能性就会越来越大,空闲位置会越来越少,线性探测的时间就会越来越久。极端情况下,我们可能需要探测整个散列表,所以最坏情况下的时间复杂度为 O(n)。同理,在删除和查找时,也有可能会线性探测整张散列表,才能找到要查找或者删除的数据。

对于开放寻址冲突解决方法,除了线性探测方法之外,还有另外两种比较经典的探测方法,二次探测(Quadratic probing)和双重散列(Double hashing)。

所谓二次探测,跟线性探测很像,线性探测每次探测的步长是 1,那它探测的下标序列就是 hash(key)+0,hash(key)+1,hash(key)+2……而二次探测探测的步长就变成了原来的“二次方”,也就是说,它探测的下标序列就是 hash(key)+0,hash(key)+$1^2$,hash(key)+$2^2$……

所谓双重散列,意思就是不仅要使用一个散列函数。我们使用一组散列函数 hash1(key),hash2(key),hash3(key)……我们先用第一个散列函数,如果计算得到的存储位置已经被占用,再用第二个散列函数,依次类推,直到找到空闲的存储位置。

不管采用哪种探测方法,当散列表中空闲位置不多的时候,散列冲突的概率就会大大提高。为了尽可能保证散列表的操作效率,一般情况下,我们会尽可能保证散列表中有一定比例的空闲槽位。我们用装载因子(load factor)来表示空位的多少。装载因子的计算公式是:

1
散列表的装载因子=填入表中的元素个数/散列表的长度

装载因子越大,说明空闲位置越少,冲突越多,散列表的性能会下降。

链表法

链表法是一种更加常用的散列冲突解决办法,相比开放寻址法,它要简单很多。下图中,在散列表中,每个“桶(bucket)”或者“槽(slot)”会对应一条链表,所有散列值相同的元素我们都放到相同槽位对应的链表中。

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当插入的时候,我们只需要通过散列函数计算出对应的散列槽位,将其插入到对应链表中即可,所以插入的时间复杂度是 O(1)。当查找、删除一个元素时,我们同样通过散列函数计算出对应的槽,然后遍历链表查找或者删除。实际上,这两个操作的时间复杂度跟链表的长度 k 成正比,也就是 O(k)。对于散列比较均匀的散列函数来说,理论上讲,k=n/m,其中 n 表示散列中数据的个数,m 表示散列表中“槽”的个数。

解答开篇

Word 文档中单词拼写检查功能是如何实现的?常用的英文单词有 20 万个左右,假设单词的平均长度是 10 个字母,平均一个单词占用 10 个字节的内存空间,那 20 万英文单词大约占 2MB 的存储空间,这个大小完全可以放在内存里面。所以我们可以用散列表来存储整个英文单词词典。

当用户输入某个英文单词时,我们拿用户输入的单词去散列表中查找。如果查到,则说明拼写正确;如果没有查到,则说明拼写可能有误,给予提示。借助散列表这种数据结构,我们就可以轻松实现快速判断是否存在拼写错误。

内容小结

本节的东西比较基础且偏向理论,主要介绍了散列表的由来、散列函数、散列冲突的解决方法。

散列表来源于数组,它借助散列函数对数组这种数据结构进行扩展,利用的是数组支持按照下标随机访问元素的特性。散列表两个核心问题是散列函数设计和散列冲突解决。散列冲突有两种常用的解决方法,开放寻址法和链表法。散列函数设计的好坏决定了散列冲突的概率,也就决定散列表的性能。

课后思考

  1. 假设我们有 10 万条 URL 访问日志,如何按照访问次数给 URL 排序?

    答:以 URL 为key,访问次数为 value。使用 hash(URL) 对URL进行映射,然后将URL和value按照映射结果存入到哈希表中。同时记录下访问次数的最大值与最小值的差值 K,时间复杂度 O(N)。如果 K 不是很大,可以使用桶排序算法将URL和value按照value排序,时间复杂度 O(N)。如果 K 非常大(比如大于 10 万),就使用快速排序将URL和value按照value排序,复杂度 O(NlogN)。并使用上文中的散列冲突算法处理散列冲突。

  2. 有两个字符串数组,每个数组大约有 10 万条字符串,如何快速找出两个数组中相同的字符串?

    答:对于第一个字符串数组,以字符串为key,出现次数为value。使用 hash(key) 对key进行映射,将value存入到散列表中(使用上文中的链表法解决散列冲突)。对于第二个字符串,同样以字符串为key,在散列表中查找。如果能够找到(原答案为:如果value大于零),说明存在相同字符串。时间复杂度 O(N)。

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