37分治算法：谈一谈大规模计算框架MapReduce中的分治思想

首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。

MapReduce、GFS 和 Bigtable并列为Google大数据处理的三驾马车。其中MapReduce在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。实际上，它的本质就是今天我们要学的算法思想——分治算法。

如何理解分治算法

分治算法（divide and conquer）的核心思想就是分而治之。也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似于递归。区别在于分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分层算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样的三个操作：

分解：将原问题分解成一系列子问题；
解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般要满足下面几个条件：

原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；
具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

分治算法的难点在于灵活应用。之前我们在排序算法中讲过数据的有序度、逆序度的概念。即用有序度来表示一组数据的有序程度，用逆序度表示一组数据的无序程度。

假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，可以通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。如下所示：

现在问题是如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？因为有序对和逆序对个数的求解方式是类似的，所以可以只思考逆序对个数的求解方法。

最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。求和后即可得到逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 $O(n^2)$。有没有更加高效的处理方法呢？

我们可以用分治算法来试试，套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

分治算法有一个要求——子问题合并的代价不能太大，否则不能降低时间复杂度。那么如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？这就需要借助于归并排序算法。归并排序中有一个非常关键的操作——将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。每次合并之后的操作中，都计算逆序对个数并求和，就是这个数组的逆序对个数了。

对应的代码如下：

private int num = 0; // 全局变量或者成员变量

public int count(int[] a, int n) {
  num = 0;
  mergeSortCounting(a, 0, n-1);
  return num;
}

private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
  if (p >= r) return;
  int q = (p+r)/2;
  mergeSortCounting(a, p, q);
  mergeSortCounting(a, q+1, r);
  merge(a, p, q, r);
}

private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
  int i = p, j = q+1, k = 0;
  int[] tmp = new int[r-p+1];
  while (i<=q && j<=r) {
    if (a[i] <= a[j]) {
      tmp[k++] = a[i++];
    } else {
      num += (q-i+1); // 统计p-q之间，比a[j]大的元素个数
      tmp[k++] = a[j++];
    }
  }
  while (i <= q) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[i++];
  }
  while (j <= r) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[j++];
  }
  for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从tmp拷贝回a
    a[p+i] = tmp[i];
  }
}

分治算法还有两个经典问题：

二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？
有两个 n*n 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A*B？

分治思想在海量数据处理中的应用

前面我们讲过的数据结构和算法，大部分都是基于内存存储和单机处理。但若处理的数据量非常大，没法一次性放到内存中，这些数据结构和算法就失效了。

比如给10GB的订单文件按照金额排序，但内存可能只有2、3GB，无法全部装到内存，也就无法单纯使用快排、归并等基础算法了。这时需要借助分治的思想。可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

比如对于10GB的订单，可以先扫描一遍订单，根据订单金额，将10GB的文件划分为几个金额区间。比如订单金额1到100、101到200的分别放到一个小文件夹等。这样可以将这些小文件分别加载到内存中排序，再合并这些有序的小文件。这样就就完成了10GB订单的排序任务。另外，将大文件被分割成各个小文件之后，可以采用分布式系统，并行处理这些文件。

解答开篇

为什么说 MapReduce 的本质就是分治思想？

面对类似于100T这样的海量数据，一台机器的处理效率肯定很低，需要借助到集群并行处理。将任务拆分到多台机器上处理，拆分之后的小任务之间互不干扰，独立计算，最后再将结果合并。这就是分治思想。

实际上，MapReduce 框架只是一个任务调度器，底层依赖 GFS 来存储数据，依赖 Borg 管理机器。它从 GFS 中拿数据，交给 Borg 中的机器执行，并且时刻监控机器执行的进度，一旦出现机器宕机、进度卡壳等，就重新从 Borg 中调度一台机器执行。

内容小结

分治算法用四个字概括就是“分而治之”，将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。这个思想非常简单、好理解。

今天我们学习了两种分治算法的典型的应用场景，一个是用来指导编码，降低问题求解的时间复杂度，另一个是解决海量数据处理问题。比如 MapReduce 本质上就是利用了分治思想。